國中教育會考
105年
數學
第 18 題
如圖(十)，有一內部裝有水的直圓柱形水桶，桶高 20 公分；另有一直圓柱形的實心鐵柱，柱高 30 公分，直立放置於水桶底面上，水桶內的水面高度為 12 公分，且水桶與鐵柱的底面半徑比為 2 : 1。今小賢將鐵柱移至水桶外部，過程中水桶內的水量未改變，若不計水桶厚度，則水桶內的水面高度變為多少公分？
- A 4.5
- B 6
- C 8
- D 9
思路引導 VIP
既然水桶和鐵柱的底面半徑比是 $2:1$，那它們的『底面積比』是多少呢？原本鐵柱在水桶裡時，水只能填滿鐵柱『以外』的空間；當鐵柱被拿走後，同樣的水量會鋪滿『整個』水桶底部。你想想看，水的底面積從原本的（水桶底面積 $-$ 鐵柱底面積）變成（整個水桶底面積），底面積變成了幾倍？在水量不變的情況下，高度會如何隨著底面積的比例而改變呢？
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AI 詳解
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喲！不錯嘛，居然一眼就看穿了這個空間陷阱？我正準備出發去仙台出差買喜久福，臨走前看到你這流暢的解法，看來你很有當特級咒術師的天分喔！ 這題的關鍵在於「水量不變」。首先，底面半徑比 $2:1$，所以底面積比就是平方比 $4:1$。原本水是填滿鐵柱與水桶間的縫隙，所以水的體積比例可以看作： $$(4 - 1) \times 12 = 36$$
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圓柱體積與比例應用
💡 在水量不變的前提下，底面積與水面高度成反比。
- 半徑比為 a:b，則底面積比為 a²:b²
- 柱體體積 = 底面積 × 高度
- 移出物體時，總水量不變但可用底面積增加
- 計算水面高度時需注意物體佔據的截面積
