普考申論題
105年
[測量製圖] 測量平差法概要
第 二 題
如圖一所示之三角網，邊長 b 由基線 a 及水平角 α、β、γ、δ 計算得之，觀測量及其標準誤差如下：a＝231.243 m± 0.012 m、α ＝66°12´30〞± 10〞、β ＝48°08´20〞± 10〞、γ ＝44°17´05〞± 10〞、δ ＝54°27´05〞± 10〞。假設各觀測量之間互相獨立，請計算 b 及其標準誤差。（20 分）
圖一：圖示包含兩個相鄰三角形，左側三角形邊長為 a，底角 α，頂角 β；右側三角形與左側共享一邊，其頂角為 γ，底邊為 b，與 b 相對的角為 δ（根據圖意推導關係式）。
圖一：圖示包含兩個相鄰三角形，左側三角形邊長為 a，底角 α，頂角 β；右側三角形與左側共享一邊，其頂角為 γ，底邊為 b，與 b 相對的角為 δ（根據圖意推導關係式）。
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
本題屬於誤差傳播定律的經典應用。解題關鍵在於先透過兩次正弦定理推導出邊長 b 的幾何函數模型。接著，對模型取自然對數後進行全微分，即可快速列出誤差傳播式；計算時務必注意將角度的標準誤差從秒(")轉換為徑度(rad)。
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【解題關鍵】利用正弦定理建立邊長推算的函數模型，再藉由取對數全微分推導誤差傳播定律，並注意角度誤差需轉換為徑度(rad)。 【解答】 計算：
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三角網誤差傳播計算
💡 利用正弦定理建立幾何模型，並透過對數微分法推導誤差傳播公式。
🔗 三角網邊長誤差求解流程
- 1 幾何建模 — 利用正弦定理列出邊長 a 與 b 的函數關係式
- 2 對數變換 — 兩側取 ln 簡化乘除運算，準備進行微分
- 3 全微分推導 — 求偏導項並注意角度項轉為 cot 形式
- 4 單位轉換 — 將角度秒值誤差轉為徑度 (除以 206265)
- 5 誤差合成 — 帶入誤差傳播公式求出目標邊長的標準誤差
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🔄 延伸學習：延伸學習：探討如何透過調整觀測角度 (α, β, γ, δ) 來優化三角網的精度強度。
