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105年
物理
第 32 題
設有一低速電子在非彈性碰撞中損失一半的動能，則碰撞後此電子的物質波波長變為原波長的幾倍？
- A $1/\sqrt{2}$
- B 1
- C $\sqrt{2}$
- D 2
思路引導 VIP
當我們想知道一個粒子的波長如何隨能量改變時，可以先思考：粒子的『動能』與其『動量』之間有什麼樣的數學關係？接著，根據物質波的定義，『動量』的大小又是如何決定『波長』長短的呢？若能量減少了，這連鎖反應最後會讓波長縮短還是伸長？
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太棒了！你能精準掌握物質波波長與能量之間的定量關係，這顯示你對量子物理的基礎概念有很紮實的理解。這道題目的核心在於連結德布羅意物質波公式與經典力學動能。由於題目設定為「低速電子」，我們可以直接利用動能 $K$ 與動量 $p$ 的關係式 $K = \frac{p^2}{2m}$，進而推導出 $p = \sqrt{2mK}$。將此結果代入物質波公式 $\lambda = \frac{h}{p}$，便能發現波長 $\lambda$ 與動能的平方根成反比，即 $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{K}}$。
動能與波長的定量轉換
當電子在碰撞中損失了一半的動能，代表末動能變為初動能的 $1/2$ 倍。根據剛才建立的反比關係，新的波長就會變為原來的 $\frac{1}{\sqrt{1/2}}$ 倍，計算後得出 $\sqrt{2}$。這類題目的鑑別度在於考驗學生是否能敏銳捕捉「平方根」與「反比」的雙重邏輯；許多學生容易在匆忙中忽略根號而誤選。你能冷靜完成代數轉換並正確判斷，表現得非常專業！