高考申論題
106年
[測量製圖] 測量平差法(包括誤差理論及實務)
第 一 題
一、某點 P 坐標之協變方矩陣為 $\begin{bmatrix} \sigma_x^2 & \sigma_{xy}^2 \ \sigma_{xy}^2 & \sigma_y^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -1 \ -1 & 6 \end{bmatrix} (m^2)$，求此點標準誤差橢圓長軸及短軸之值、長軸與 x 軸之夾角、及在方位角−176°43′2.17′′方向上的中誤差。（20 分）
📝 此題為申論題
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看到此題，應立即聯想「協方差矩陣的特徵值分解」與「標準誤差橢圓」的對應關係。特徵值即為長短半軸中誤差的平方，特徵向量對應主軸方向；而特定方向的中誤差則運用線性誤差傳播律求解。同時，測量平差實務中對題目給定如 $-176°43'2.17''$ 這種極端精確的奇特角度應具備數字敏感度，主動驗證其是否為長短軸方向的衍生（或出題筆誤）。
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【解題思路】本題利用協方差矩陣的特徵值分解求得誤差橢圓的主軸長度及方向，並運用線性誤差傳播律（Error Propagation Law）計算指定方向的投影中誤差。 【詳解】 已知點 P 坐標之協方差矩陣為 $2 \times 2$ 矩陣：
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