高等考試
106年
[電力工程] 工程數學
第 18 題
給定一個隨機變數 $x$，其累積分布函數（cumulative distribution function） $F(x) = \begin{cases} 0, & x < 1 \ 1/4, & 1 \le x < 3 \ 1/2, & 3 \le x < 5 \ 3/4, & 5 \le x < 7 \ 1, & x \ge 7 \end{cases}$，求機率 $P(x \le 5 | x \ge 2)$ 之值為何？
- A 1/3
- B 2/5
- C 1/2
- D 2/3
思路引導 VIP
想像一下，如果我們已經知道一個零件的壽命『至少超過 2 年』，這個『已知資訊』會如何改變我們觀察的母體範圍？在這種情況下，我們要計算它『小於等於 5 年』的機率時，分母應該放原本全部的可能性，還是縮減後的可能性？分子又該如何選取重疊的部分？
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- 大力肯定：做得好！這顯示你對隨機變數與其邊界條件的掌握非常精準，這在工程可靠度分析中是不可或缺的基本功。
- 觀念驗證：這題的核心在於條件機率定義：
▼ 還有更多解析內容
條件機率與累積分布
💡 利用累積分布函數 (CDF) 計算離散型隨機變數之條件機率。
🔗 條件機率求解步驟
- 1 展開公式 — 將 $P(x \le 5 | x \ge 2)$ 轉為交集除以條件機率。
- 2 轉換為 CDF — 分子轉為 $F(5) - F(2^-)$，分母轉為 $1 - F(2^-)$。
- 3 代入求值 — 根據分段函數找到 $F(5)=3/4$ 與 $F(2^-)=1/4$。
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🔄 延伸學習：延伸學習：連續型隨機變數的條件機率密度的定義與積分應用。
