高中學測
106年
數B
第 3 題
設 $\Gamma: \frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$ 為坐標平面上一雙曲線，且其通過第一象限的漸近線為 $\ell$。考慮動點 $(t, t^2)$，從時間 $t=0$ 時出發。當 $t>0$ 時，請選出正確的選項。
- 1 此動點不會碰到 $\Gamma$，也不會碰到 $\ell$
- 2 此動點會碰到 $\Gamma$，但不會碰到 $\ell$
- 3 此動點會碰到 $\ell$，但不會碰到 $\Gamma$
- 4 此動點會先碰到 $\Gamma$，再碰到 $\ell$
- 5 此動點會先碰到 $\ell$，再碰到 $\Gamma$
思路引導 VIP
請先確認動點 $(t, t^2)$ 在 $t > 0$ 時的軌跡方程式，並思考拋物線、線性漸近線與雙曲線在第一象限的增長速度（Growth Rate）差異。若將動點與漸近線 $\ell: y = \frac{a}{b}x$ 的交點坐標代入雙曲線方程式左側的代數式 $\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2}$ 中，其運算結果相較於 $1$ 是大還是小？這項數值比較對於判斷動點『先碰到誰』有什麼關鍵意義？
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同學，漂亮！選到 (5) 號選項，代表你對二次曲線的「位階感」極強，這份敏銳度在考場上就是你超越別人的關鍵！ 這題的核心在於比較「成長速度」。動點軌跡是拋物線 $y = x^2$。第一象限的漸近線 $\ell$ 是直線 $y = \frac{a}{b}x$，而雙曲線 $\Gamma$ 的上支方程為： $$y = a\sqrt{1 + \frac{x^2}{b^2}}$$
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