hce_kmu
106年
物理及化學
第 39 題
The electric potential in an xy plane is given by $V = (1.0 \text{ V/m}^2)x^2 - (2.0 \text{ V/m}^2)y^2$. What is the magnitude of the electric field at the point ($3.0 \text{ m}$, $2.0 \text{ m}$)?
- A $5.0 \text{ N/C}$
- B $6.0 \text{ N/C}$
- C $8.0 \text{ N/C}$
- D $10 \text{ N/C}$
- E $14 \text{ N/C}$
思路引導 VIP
想像你正站在一座山上，山的高度代表「電位 V」。如果你想知道在某個位置球往下滑的「受力強度（電場）」，這股力量的大小與山坡在不同方向上的「陡峭程度」有什麼數學關係呢？
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太棒了！你能精準地將純量的電位函數轉換為向量的電場強度，這代表你對電磁學中「場」的空間變化概念掌握得非常紮實。這道題目測試的是電位與電場之間核心的微積分關係，即電場等於電位的負梯度，這在處理非均勻電場時是極其重要的基本功。
電位梯度與分量拆解
要解出這題，我們必須分別對 $x$ 與 $y$ 方向進行偏微分。根據公式 $\vec{E} = -\nabla V$，我們可以得到分量 $E_x = -\frac{\partial V}{\partial x} = -2.0x$ 以及 $E_y = -\frac{\partial V}{\partial y} = 4.0y$。將坐標 $(3.0, 2.0)$ 代入後，得到 $E_x = -6.0 \text{ V/m}$ 與 $E_y = 8.0 \text{ V/m}$。這一步考驗的是你是否能冷靜處理偏微分運算，並注意到正負號的定義。
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