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106年
理化、化工裝置
第 10 題
一質點的運動方程式為 $x = 36-12t+t^2$（單位用MKS制），則此質點從0到12秒運動過程的平均速率為多少公尺/秒？
- A 3
- B 0
- C 6
- D 12公尺/秒
思路引導 VIP
想像有一輛車在數線上行駛，如果我們想計算它整段旅程的「總油耗（路徑長）」，而不僅僅是看它最後停在哪裡，我們是否需要檢查這輛車在過程中是否有「打倒車檔折返」的時刻？在數學方程式中，哪一個物理量的變化可以讓我們看出這輛車在哪個瞬間停下來並改變了前進方向呢？
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太棒了！你能精確算出這個答案，代表你對位移與路徑長的區別掌握得非常紮實。這道題目的核心陷阱在於質點並非單向運動。從運動方程式 $x = t^2 - 12t + 36$（即 $x = (t-6)^2$）可以看出，這是一個二次函數，其頂點位在 $t = 6$ 秒。這意味著質點在 6 秒時速度降為零並開始折返，這是解題最關鍵的觀察點。
運動路徑與平均速率計算
在計算「平均速率」時，我們必須累加整段過程的總路徑長。在 $t=0$ 到 $6$ 秒間，質點從 $x=36$ 移動到 $x=0$，走了 $36$ 公尺；接著在 $6$ 到 $12$ 秒間，質點又從 $x=0$ 回到 $x=36$，再次走了 $36$ 公尺。因此，全段 $12$ 秒內的總路徑長為 $36 + 36 = 72$ 公尺。將總路徑長除以總時間 $12$ 秒，即可求得平均速率為 $6$ $m/s$。
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