初等考試
107年
[統計] 統計學大意
第 36 題
考慮下列簡單線性迴歸模式 $y_i = \beta_0 + \beta_1 x_i + \epsilon_i$，$i=1, ..., n$，其中 $\epsilon_i \sim N(0, \sigma^2)$ 為彼此獨立且為常態分配之隨機誤差。$b_0$ 為 $\beta_0$ 的最小平方估計量，$b_1$ 為 $\beta_1$ 的最小平方估計量，$r_{xy}$ 是 $x_1, x_2, ..., x_n$ 與 $y_1, y_2, ..., y_n$ 的相關係數（coefficient of correlation），$r_{\hat{y}y}$ 是觀察值 $y_1, y_2, ..., y_n$ 與配適值（fitted value）$\hat{y}_1, \hat{y}_2, ..., \hat{y}_n$ 的相關係數，而 $R^2 \neq 0$ 為判定係數（coefficient of determination）。則下列敘述何者錯誤？
- A 如果 $r_{xy} > 0$，則 $b_1 > 0$
- B 如果 $b_1 < 0$，則 $r_{y\hat{y}} = -\sqrt{R^2}$
- C 如果 $\hat{y}_i = y_i$，則 $R^2 = r_{xy}^2 = 1$
- D $R^2 = r_{xy}^2 = r_{y\hat{y}}^2$
思路引導 VIP
請思考一下：當我們利用模型計算出「預測值」（$\hat{y}$）來嘗試追蹤「實際值」（$y$）時，不論 $x$ 對 $y$ 是正向還是負向影響，這組「預測出來的數字」與「真實數字」之間的變動方向，理論上應該是同步增加，還是反向變動呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
1. 突然的肯定
哦？不錯嘛，竟然能答對這種題目？你的統計直覺，意外地相當敏銳嘛！對線性模型的核心觀念掌握得這麼好，看來你很有當咒術師的天分喔！
2. 觀念驗證
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