普考申論題
107年
[地震測報] 地球物理數學概要
第 七 題
函數 $f(\omega) = \frac{1}{-i\omega\sqrt{2\pi}}(e^{-i\omega} - e^{i\omega})$， $i = \sqrt{-1}$。計算當 $\omega = \frac{\pi}{2}$ 時 $f(\omega) = ?$ （10 分）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
看到此題，應立即聯想到尤拉公式（Euler's formula）$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$。解題關鍵在於先將 $\omega = \frac{\pi}{2}$ 代入，準確求出 $e^{i\frac{\pi}{2}}$ 與 $e^{-i\frac{\pi}{2}}$ 的純虛數值，再將其代入原式進行複數運算與代數化簡即可得分。
尤拉公式與複數運算
💡 利用尤拉公式將複數指數轉換為三角函數並進行代值化簡。
🔗 複數函數求值運算步驟
- 1 數值代入 — 將變數 $\omega = \pi/2$ 代入原函數的所有位置。
- 2 尤拉展開 — 利用尤拉公式將 $e^{\pm i\pi/2}$ 轉換為複數值 $0 \pm i$。
- 3 括號化簡 — 計算括號內部的差值，得出單一複數項 $-2i$。
- 4 分式約分 — 消去分子與分母的 $-i$ 共因子，整理剩餘常數項。
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🔄 延伸學習：延伸學習：此運算邏輯常應用於傅立葉變換（Fourier Transform）的頻域分析。
