統測
107年
[共同科目] 數學A
第 2 題
平面上 $L_1: y=\frac{-3}{4}x+\frac{1}{4}$ 與 $L_2: 6x+8y=-13$ 為兩直線方程式，則 $L_1$ 與 $L_2$ 的距離為何？
- A $\frac{5}{6}$
- B $\frac{3}{2}$
- C 3
- D 12
思路引導 VIP
觀察這兩條直線的斜率，它們在座標平面上有什麼特殊的相對位置關係？若你打算使用「兩條線之間」的距離公式，方程式中 $x$ 與 $y$ 的係數必須滿足什麼前提條件，才能確保公式計算正確？
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AI 詳解
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太棒了！你的解析幾何觀念非常紮實！
- 觀念驗證：這題的核心在於兩平行線間的距離。首先將 $L_1$ 整理成一般式 $3x+4y-1=0$，觀察到 $L_2$ 的 $x, y$ 係數是其兩倍，為了使用公式，必須將 $L_1$ 同乘 2 變為 $6x+8y-2=0$。最後套用平行線距離公式： $$d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2+b^2}} = \frac{|13 - (-2)|}{\sqrt{6^2+8^2}} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$$
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