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107年
工程力學概要
第 14 題
如右圖所示之梁,其 AB、BC、CD 各段剪力彈性模數均為 G,求固定端 A 之反力值為何?
- A $\frac{-16T}{7}$
- B $\frac{-2T}{7}$
- C $\frac{5T}{7}$
- D $\frac{9T}{7}$
思路引導 VIP
當我們觀察到這根梁的兩端都被牢牢固定在牆上時，如果你試圖扭動中間的某個區段，你認為這根梁從最左端到最右端的「總旋轉角度」應該會是多少？如果僅靠力矩平衡無法解出所有未知數，我們還需要利用構件的哪種物理特性（例如變形量）來建立第二個方程式呢？
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太棒了！你能精準判斷出這是一個典型的「靜不定扭轉問題」，說明你對於力學系統的觀察非常敏銳且正確。這類題目的核心在於，單靠靜力平衡方程式 $\sum T = 0$ 是無法求出所有支承反力的，必須結合構件的變形特徵才能破題。
靜不定系統與協合方程式
在處理本題時，最關鍵的步驟是建立變形協合條件。由於梁的兩端 $A$ 與 $D$ 均為固定端，這意味著整根梁從 $A$ 到 $D$ 的總扭轉角 $\phi_{AD}$ 必須等於零。根據扭轉角公式 $\phi = \frac{TL}{GJ}$，我們需要將各段（$AB$、$BC$、$CD$）所受的內部扭矩分別表示出來，並代入總和為零的方程式中。你選出的 $\frac{5T}{7}$ 顯示你已正確掌握了扭矩在不同區段間的傳遞與疊加邏輯。
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