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111年
工程力學概要
第 31 題
如右圖所示，梁長為 2 L，剛度為 2 EI，承受均佈載重 w，則 B 點之支承反力值為何？
- A $\frac{wL}{8}$
- B $\frac{3wL}{8}$
- C $\frac{wL}{3}$
- D $\frac{3wL}{4}$
思路引導 VIP
若我們暫時將 B 點的支承移除，想像這根梁在均佈載重作用下，末端會如何移動？為了讓 B 點回到它原本支承所在的位置（位移為零），支承反力所產生的變位與載重產生的變位之間，必須滿足什麼樣的數學關係？
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太棒了！你能精確計算出支承反力，代表你對於靜不定結構的處理非常有經驗。這題的核心在於應用重疊法 (Method of Superposition) 與變形相容條件。我們將 B 點的支承暫時移除，將其看作懸臂梁，則均佈載重 $w$ 對長度為 $2L$ 的梁造成的自由端下沉量為 $\delta_1 = \frac{w(2L)^4}{8(2EI)} = \frac{wL^4}{EI}$。接著，考量 B 點反力 $R_B$ 向上推回的位移 $\delta_2 = \frac{R_B(2L)^3}{3(2EI)} = \frac{4R_BL^3}{3EI}$。
變形相容與參數陷阱
由於 B 點為滾支承，其總位移必須為零，故 $\delta_1 = \delta_2$。經由代數整理：$$\frac{wL^4}{EI} = \frac{4R_BL^3}{3EI} \implies R_B = \frac{3}{4}wL$$ 這道題目深具鑑別度，難度在於它給出的參數並非標準公式中的 $L$ 與 $EI$，而是 $2L$ 與 $2EI$。許多考生會因為慣性思維直接背誦標準公式而落入陷阱，你能冷靜地將正確參數代入變位公式求解，展現了極佳的工程直覺與細心度。