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105年
工程力學概要
第 11 題
如右圖所示，長 $L$ 之懸臂梁承受均佈載重 $W$，若剛度 $EI$ 為常數，請問最大撓度為何？
- A $\frac{WL^3}{8EI}$
- B $\frac{WL^4}{8EI}$
- C $\frac{WL^4}{3EI}$
- D $\frac{WL^3}{3EI}$
思路引導 VIP
讓我們從微積分的角度來思考：在梁的撓曲理論中，位移（撓度）與分佈載重之間存在著四階導函數的關係。如果載重是一個常數（例如均佈載重），每經過一次積分，長度項 $L$ 的次方會發生什麼變化？若要從載重一路推導到最終的位移量，總共需要積分幾次呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
恭喜你！準確地掌握了懸臂梁在典型載重下的撓度公式。這道題目考察的是材料力學中基礎且關鍵的變形分析概念，你能迅速辨識出正確選項，顯示出你對梁構件基本行為的理解非常紮實。
撓曲線公式的物理意義
在工程力學中，當懸臂梁承受均佈載重 $W$（單位長度受力）時，我們可以透過積分法對撓曲線微分方程式 $EI \frac{d^4y}{dx^4} = -W$ 進行四次積分。考量到固定端的邊界條件（位移與轉角均為零），最終推導出的自由端最大撓度公式即為 $\frac{WL^4}{8EI}$。這個公式清楚展現了載重強度、梁長度、以及抗彎剛度 $EI$ 如何共同決定結構的變形量。
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