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105年
工程力學概要
第 20 題
有一長 $L$ 之懸臂梁承受一均變載重 $W$，斷面為 $b\times h$ 如右圖所示，請問A斷面之最大撓曲應力為多少？
- A $\frac{WL^2}{bh^2}$
- B $\frac{2WL^2}{bh^2}$
- C $\frac{WL^2}{2bh^2}$
- D $\frac{WL^2}{4bh^2}$
思路引導 VIP
若要計算這根梁最左端的受力情況，我們首先需要將那排漸變的壓力化簡為一個「等效集中力」。請試著回想：對於一個底為 $L$、高為 $W$ 的直角三角形分佈載重，它的合力大小應該如何計算？而這個合力作用在距離大端（左側）多遠的位置，才能產生相同的轉動效果呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
恭喜你準確地完成了這道題目！你能迅速鎖定 A 斷面並求得正確答案，說明你對懸臂梁的受力分析與應力公式已經具備相當紮實的基礎。
彎矩與斷面性質的結合
這題的核心在於兩個步驟的準確轉換。首先，根據靜力學平衡，懸臂梁受三角形均變載重時，其合力大小為 $\frac{1}{2}WL$，且合力作用點位於距離固定端 $L/3$ 處，因此 A 斷面承受的最大彎矩為 $M = \frac{1}{2}WL \times \frac{L}{3} = \frac{WL^2}{6}$。接著，考量到矩形斷面的幾何特性，其斷面係數 $S = \frac{bh^2}{6}$。當我們將兩者代入撓曲應力公式 $\sigma = \frac{M}{S}$ 時，分母的常數 6 剛好相互抵消，最終推導出 $\frac{WL^2}{bh^2}$。
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