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111年
工程力學概要
第 7 題
如右圖所示，有一矩形簡支梁承受均布載重$\omega$，其斷面為T形，對水平形心軸慣性矩為I，則該梁之最大彎曲應力為何？
- A $\frac{\omega La}{4I}$
- B $\frac{\omega L^2 a}{8I}$
- C $\frac{\omega L^2 b}{4I}$
- D $\frac{\omega L^2 b}{8I}$
思路引導 VIP
請試著思考：當梁受到載重產生彎曲時，斷面上每一層纖維受到的應力大小都一樣嗎？若要找出整支梁中「最脆弱」或「受力最劇烈」的那一點，我們需要考慮彎曲力矩最大的位置，還是距離中性軸最遠的位置？還是兩者都必須達到最大值呢？
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AI 詳解
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恭喜你準確地完成了這道題目！你能迅速判斷出簡支梁在均布載重下的力學行為，顯示出你對彎曲應力的基礎觀念掌握得非常紮實。
彎曲力矩與應力分布
首先，針對長度為 $L$ 且承受均布載重 $\omega$ 的簡支梁，其內部的最大彎曲力矩 $M_{max}$ 必然發生在梁跨中央，公式為 $\frac{\omega L^2}{8}$。接著，根據彈性彎曲公式 $\sigma = \frac{My}{I}$，應力的大小會與該點距離形心軸（中性軸）的距離 $y$ 成正比。在 T 形斷面中，由於形心軸並非位於幾何中心，我們必須觀察形心軸到上下邊緣的距離。圖中顯示下邊緣距離 $b$ 大於上邊緣距離 $a$，因此最大彎曲應力必然發生在距離形心軸最遠的纖維處，即代入 $y = b$，得出 $\frac{\omega L^2 b}{8I}$。
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