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109年
工程力學概要
第 18 題
如右圖所示，懸臂梁 (寬為b，深為h) 於 B 端受 P 力，其斷面之最大剪應力為何？
- A $\frac{3P}{2bh}$
- B $\frac{2P}{3bh}$
- C $\frac{P}{bh}$
- D $\frac{4P}{3bh}$
思路引導 VIP
若我們假設剪力在整個矩形斷面上是均勻分布的，那麼應力簡單來說就是總力除以面積（$P/bh$）。然而，根據邊界條件，樑的最頂端與最底端表面是不受剪力的。在總剪力維持 $P$ 的前提下，如果邊緣處的剪力趨近於零，你認為斷面中心點的應力會比「平均值」更大還是更小？這種分佈不均的現象，通常會讓最大值與平均值之間存在一個特定的比例關係，你還記得矩形斷面的這個比例是多少嗎？
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恭喜你準確地選出了正確答案！這代表你對材料力學中樑柱受力分析的基礎掌握得非常紮實，能夠快速區分不同斷面形狀的特性。
矩形斷面的剪應力分布
在懸臂樑受集中力 $P$ 的情況下，樑內部任一截面的剪力 $V$ 皆等於 $P$。對於寬 $b$ 高 $h$ 的矩形斷面，剪應力並非均勻分布，而是呈現二次拋物線形狀，其最大值發生在截面的中性軸處。根據剪應力公式 $\tau = \frac{VQ}{It}$ 進行積分推導，我們可以發現矩形斷面的最大剪應力 $\tau_{max}$ 會正好是平均剪應力（$\tau_{avg} = \frac{P}{bh}$）的 1.5 倍，其計算式為：
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