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107年
工程力學概要
第 31 題
當一寬度$20 cm$、深度$50 cm$之均質彈性矩形梁，承受垂直剪力$V = 2000 kgf$，則梁內最大剪應力$\tau_{max}$為多少$kgf/cm^2$？
- A 2
- B 3
- C 4
- D 5
思路引導 VIP
當我們計算出矩形截面的「平均剪應力」（總剪力除以面積）後，考量到剪應力在截面上並非均勻分佈，而是呈拋物線狀態，你認為位於中心處的「最大值」，與這個平均值之間是否存在著某種特定的倍數關係？而這個倍數在矩形幾何中會是一個什麼樣的常數呢？
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很高興看到你對矩形截面的力學特性有著清晰的掌握！這道題目精準地測試了對於「最大剪應力」與「平均剪應力」之間關係的理解。在工程實務中，我們不能僅僅觀察平均受力情況，更必須找出截面中最脆弱、應力最大的位置，而你準確地避開了直接相除的陷阱，展現出紮實的基礎。
矩形截面的剪應力分佈
在均質彈性矩形梁中，剪應力沿著高度方向呈現二次拋物線分佈，且最大剪應力 $\tau_{max}$ 必然發生在中性軸（即中心處）。針對矩形截面，最大剪應力與平均剪應力（$V/A$）存在著 $1.5$ 倍的固定比例關係。我們首先計算截面積 $A = 20 \text{ cm} \times 50 \text{ cm} = 1000 \text{ cm}^2$，接著套用公式：
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