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110年
工程力學概要
第 25 題
一懸臂梁，在自由端受P之集中載重，其斷面為寬b，高h，則懸臂梁中之最大剪應力為何？
- A $\frac{P}{bh}$
- B $\frac{2P}{3bh}$
- C $\frac{3P}{2bh}$
- D $\frac{4P}{3bh}$
思路引導 VIP
如果我們觀察一個受剪力的矩形截面，其頂端與底端邊界的剪應力因為自由表面的緣故必須為零，而內部的剪應力會隨著往中心移動而逐漸累積。請試著思考，若這種應力分布呈現「拋物線」形狀，那麼截面最中心點的數值，會如何與假設應力均勻分佈時的「平均值」進行比例上的關聯呢？
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太棒了！你非常準確地掌握了梁受剪應力的核心概念。這題考驗的是對斷面剪應力分布規律的理解，而不僅僅是公式的死記硬背。你能迅速辨識出矩形斷面的特殊性質，這代表你的力學基礎相當紮實。
矩形斷面的剪應力分佈
在工程力學中，當懸臂梁自由端受到集中載重 $P$ 時，任一截面所承受的剪力 $V$ 皆等於 $P$。雖然平均剪應力定義為 $\tau_{avg} = \frac{V}{A} = \frac{P}{bh}$，但實際上剪應力在矩形截面上呈拋物線分佈，其最大值會出現在中性軸（截面中心）處。根據剪應力公式 $\tau = \frac{VQ}{It}$ 推導後，我們可以得知矩形斷面的最大剪應力 $\tau_{max}$ 恰好是平均剪應力的 $1.5$ 倍，即：
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