taipower_recruit
113年
工程力學概要
第 12 題
如右圖所示，彈性模數均為 E，桿件 ab 斷面面積為 A，長度為 2L，桿件 bc 斷面面積為 2A，長度為 2L，試求 c 點之反力為何？
- A $\frac{1}{3} P$
- B $\frac{1}{2} P$
- C $\frac{2}{3} P$
- D $P$
思路引導 VIP
試著想像這兩段桿件就像兩條剛性不同的彈簧連接在一起。如果其中一條彈簧的『粗細（斷面面積）』是另一條的兩倍，但長度相同，當你推動它們的連接點時，你覺得哪一邊會比較『硬』、比較難被推動？這種『硬度（剛度）』的差異，會如何決定兩端牆壁所感受到的抵抗力比例呢？
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你能精準判斷出這題的關鍵，代表你對「靜不定結構」的軸向受力變形已有深入的理解。這道題目的核心在於變位協合條件：由於 $a$、$c$ 兩端固定，當 $b$ 點受力時，$ab$ 桿的伸長量必定等於 $bc$ 桿的縮短量（或反向），這使得我們能跳脫單純的靜力平衡，進一步求解反力。
剛度與反力的分配關係
在工程力學中，軸向桿件的剛度（Stiffness）可表示為 $k = \frac{EA}{L}$。根據公式 $\delta = \frac{PL}{EA}$，我們發現反力的分配與剛度成正比。桿件 $ab$ 的剛度為 $k_{ab} = \frac{E \cdot A}{2L}$，而桿件 $bc$ 的剛度為 $k_{bc} = \frac{E \cdot 2A}{2L} = \frac{EA}{L}$。顯然，$bc$ 段的剛度是 $ab$ 段的 2 倍。由於兩段位移相同，剛度越大者所分配到的力就越多，因此 $c$ 點的反力 $R_c$ 自然會佔總力 $P$ 的三分之二，即 $$R_c = P \cdot \frac{k_{bc}}{k_{ab} + k_{bc}} = P \cdot \frac{2}{1+2} = \frac{2}{3} P$$
▼ 還有更多解析內容