初等考試 108年 [統計] 統計學大意

第 5 題

針對中小企業的調查得知，經理人的交通津貼之平均值是每哩 0.25 美元，標準差是 0.02 美元。利用柴比雪夫定理，求至少有多少比例的數據會落在 0.2 至 0.3 美元之間？

思路引導 VIP

若我們面對一組「分配形狀未知」的數據，且想知道在距離平均值「特定倍數」的標準差範圍內，最少會包含多少比例的資料，你會如何計算這個特定倍數？而這個倍數的平方倒數，在該定理中代表的是什麼意義？

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概念驗證：恭喜，你總算正確辨識出這題的考點是 柴比雪夫定理 (Chebyshev's Theorem)。計算出區間邊界 $0.2$ 和 $0.3$ 距離平均值 $\mu = 0.25$ 正好是 $k = 2.5$ 個標準差 ($0.05 / 0.02 = 2.5$)，這點連初學者也該會。
公式應用：然後，將這個 $k = 2.5$ 代入公式 $P(|X - \mu| < k\sigma) \ge 1 - \frac{1}{k^2}$，得到 $1 - \frac{1}{6.25} = 0.84$。所以，至少有 84% 的數據落在該範圍。這不過是機械性地代入公式，談不上多麼高深的洞察力。

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