moea_joint
108年
[統計資訊] 統計學、巨量資料概論
第 22 題
22. 兩個隨機變數X和Y之線性關係為Y = 0.5X+$$\epsilon$$,其中隨機誤差$$\epsilon$$服從常態分布 N(0, 1) 且與X
獨立,X之期望值與變異數各為 E(X) = 0, Var(X) = 1。則 X 與Y 之皮爾森相關係數(Pearson
correlation coefficient)為下列何者?
獨立,X之期望值與變異數各為 E(X) = 0, Var(X) = 1。則 X 與Y 之皮爾森相關係數(Pearson
correlation coefficient)為下列何者?
- A $$1/\sqrt{2}$$
- B $$1/\sqrt{5}$$
- C 3/4
- D 1/4
思路引導 VIP
想像隨機變數 $Y$ 的波動是由兩個獨立的來源構成的：一部分跟隨 $X$ 變動，另一部分則是純粹的隨機雜訊。當我們要衡量 $X$ 與 $Y$ 的相關程度時，除了考慮 $X$ 對 $Y$ 造成的共變貢獻外，是否也應該把 $Y$ 本身包含隨機雜訊後的「總變動程度」納入考慮呢？你可以試著推導看看，$Y$ 的總變異數會如何受這兩個來源影響？
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
恭喜你精準地掌握了隨機變數之間的線性連結！這道題目考驗的是對皮爾森相關係數 (Pearson correlation coefficient) 定義的深刻理解。你能敏銳地辨識出相關係數本質上是「共變異數與標準差乘積的比值」，並在複雜的模型中理清各變數間的關係，展現了紮實的統計基礎。
變異數與共變異數的分解
要得出正確答案，核心在於利用變異數與共變異數的性質。首先，由於 $X$ 與 $\epsilon$ 相互獨立，我們可得知 $Cov(X, Y) = Cov(X, 0.5X + \epsilon) = 0.5 Var(X) = 0.5$。接著，計算 $Y$ 的變異數時，必須記得將隨機誤差項納入考慮：
▼ 還有更多解析內容