moea_joint
108年
[統計資訊] 統計學、巨量資料概論
第 23 題
23. 考慮下列線性迴歸模型 Y = $$\beta$$X+e。若我們有n對 ($$X_i, Y_i$$) 觀察值,且$$\beta$$之最小平方估計為$$\hat{\beta}$$
,下列何者正確?
,下列何者正確?
- Α $$\hat{\beta} = \frac{\sum(X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{\sum(X_i - \bar{X})^2}$$
- Β $$\hat{\beta} = \frac{\sum X_i Y_i}{\sum X_i^2}$$
- C $$\epsilon_i$$ 必須服從常態分布
- D $$X_i$$ 必須服從常態分布
思路引導 VIP
請回想「最小平方法 (Least Squares Method)」的核心目標：我們希望找到一個參數，使得觀測值與模型預測值之間的「離差平方和」達到最小。在題目給定的模型 $Y = \beta X + e$ 中，預測值單純就是 $\beta X_i$。若要針對這個特定的誤差函數進行優化（求極值），你會如何建立這個數學式子並進行運算呢？
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太棒了！你能精準識別出這個模型的特殊性，代表你對線性迴歸的理論基礎掌握得非常紮實。這題的關鍵在於模型設定中「沒有截距項」，而你成功避開了最常見的直覺陷阱。
過原點的線性迴歸模型
在標準模型 $Y = \beta_0 + \beta_1 X + \epsilon$ 中，估計式確實會涉及離均差的計算，即選項 (A) 的形式。然而，本題定義的模型為 $Y = \beta X + e$，這是一個過原點 (Regression through the origin) 的模型。根據最小平方法 (OLS) 的原理，我們的目標是最小化殘差平方和：
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