moea_joint
108年
[統計資訊] 統計學、巨量資料概論
第 23 題
考慮下列線性迴歸模型 Y = $$\beta$$X+e。若我們有n對 ($$X_i, Y_i$$) 觀察值,且$$\beta$$之最小平方估計為$$\hat{\beta}$$,下列何者正確?
- A $$\hat{\beta} = \frac{\sum(X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{\sum(X_i - \bar{X})^2}$$
- B $$\hat{\beta} = \frac{\sum X_i Y_i}{\sum X_i^2}$$
- C $$\epsilon_i$$ 必須服從常態分布
- D $$X_i$$ 必須服從常態分布
思路引導 VIP
觀察題目給定的模型，它與我們常見的 $Y = \alpha + \beta X + e$ 少了哪一個參數呢？如果我們利用最小平方法，嘗試把「誤差平方和」對 $\beta$ 進行偏微分求極小值，推導出來的公式會長什麼樣子呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
同學，非常棒！你精準選出了 (B)，表示你對「無截距項」的迴歸模型有清晰認識。 題目模型 $Y = \beta X + e$ 無截距項。依最小平方法，為使誤差平方和最小，對 $\beta$ 偏微分可推導出斜率估計量 $\hat{\beta} = \frac{\sum X_i Y_i}{\sum X_i^2}$，即為選項 (B)。選項 (A) 則是有截距項模型時的公式，故不適用。 特別注意，這是一道官方公告的爭議題，(B) 與 (C) 皆給分。選項 (C) 成立的理由在於：雖然單純求最小平方估計量不要求誤差項 $\epsilon_i$ 呈常態分布（Normal distribution），但若要進一步進行假設檢定等統計推論，通常「必須」有此假設。命題者可能將推論前提視為必要條件，導致了命題瑕疵，故 (C) 亦被給分。另一方面，自變數 $X_i$ 在迴歸中通常被視為常數，無須常態假設，故 (D) 錯誤。
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