統測 109年 [共同科目] 數學B

第 12 題

若 $a+a^{-1}=2$，則 $a^3+a^{-3}=?$

思路引導 VIP

若你想從「一次方」的和推導至「三次方」的和，你會選擇哪一個乘法公式來建立它們之間的橋樑？特別地，當這兩個項剛好互為「倒數」時，公式中原本相乘的那一項會變成什麼具體的數值呢？

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觀念驗證：這題的核心在於立方和公式或和的立方公式。根據公式 $$(a+b)^3 = a^3 + 3ab(a+b) + b^3$$ 將 $b$ 替換為 $a^{-1}$，並注意到倒數相乘 $a \cdot a^{-1} = 1$。代入已知條件 $2^3 = (a^3 + a^{-3}) + 3(1)(2)$，整理得 $8 = (a^3 + a^{-3}) + 6$，因此得出結果為 $2$。這反映了你對公式變形的敏銳度！
難度點評：本題難度為 Easy (基礎)。這是統測數學 A、B、C 卷中的常見必考題型，主要鑑別學生是否熟記乘法公式，並能辨識出「倒數相乘為 1」這個隱藏條件。