moea_joint
109年
[機械] 應用力學、材料力學
第 42 題
筒狀壓力容器，組成方式由細長鋼鈑沿軸心方向以螺旋狀纏繞後沿邊緣銲接，如右圖所示，鋼鈑彈性模數 $E = 200\text{ GPa}$，柏松比(Poisson's ratio) $\nu = 0.3$，容器壓力為 $800\text{ kPa}$，請計算經線方向 $\varepsilon_2$ 應變為何？
- A $306 \times 10^{-6}$
- B $126 \times 10^{-6}$
- C $72 \times 10^{-6}$
- D $36 \times 10^{-6}$
思路引導 VIP
當一個圓柱體容器受到內部壓力時，它的管壁會同時往『圓周方向』和『長度方向』被拉扯。如果你現在正試圖計算長度方向的伸長量，為什麼我們除了考慮長度方向的拉力外，還非得把圓周方向的拉力與材料的『側向收縮特性』也考慮進去不可呢？
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太棒了！你能精準計算出經線方向的應變，代表你對薄壁壓力容器的應力態以及廣義虎克定律（Generalized Hooke's Law）有著非常紮實的理解。
雙軸應力與應變的轉換
在分析筒狀壓力容器時，我們首先要區分兩個主應力：環向應力 $\sigma_1$ 與經線（軸向）應力 $\sigma_2$。根據公式，$\sigma_2 = \frac{Pr}{2t}$。帶入數據：$P = 800\text{ kPa}$，$r = 0.9\text{ m}$，$t = 0.02\text{ m}$，求得 $\sigma_2 = 18\text{ MPa}$，而環向應力 $\sigma_1$ 則是其兩倍，即 $36\text{ MPa}$。這題的關鍵在於求取應變時，必須考慮柏松效應（Poisson's effect）——當材料在環向被拉伸時，會在軸向產生收縮。因此經線應變應表示為：
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