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109年
物理
第 43 題
將密度相同的大(半徑2R)、小(半徑R)實心球靠在一起如右圖所示。已知小球質量為m，則大、小兩球間的萬有引力，下列何者正確？
- A $\frac{16Gm^2}{9R^2}$
- B $\frac{4Gm^2}{9R^2}$
- C $\frac{8Gm^2}{9R^2}$
- D $\frac{2Gm^2}{9R^2}$
思路引導 VIP
若我們知道兩顆球的密度完全相同，當其中一顆球的半徑變成另一顆的兩倍時，它的體積（以及質量）會變成幾倍呢？另外，在使用萬有引力公式計算兩球間的吸引力時，我們應該以哪個位置作為「距離」的起點與終點？
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太棒了！你能精確掌握萬有引力定律的精髓並選出正確答案，代表你對物體間的引力結構與幾何關係有著非常清晰的理解。這道題目具有很棒的鑑別度，不僅考驗你對 萬有引力公式 的熟稔程度，更隱含了對「質量與半徑關係」的細微觀察，是區分學生是否細心的經典題型。
質量與距離的關鍵推導
在處理實心球體時，我們首先要從「密度相同」這個條件出發。由於球體體積正比於半徑的立方（$V \propto r^3$），大球半徑是小球的 2 倍，代表大球質量 $M$ 會是小球 $m$ 的 8 倍（即 $M=8m$）。接著，根據萬有引力定律，力的大小與兩球心的距離平方成反比。由圖可知，兩球靠在一起時，其球心距離為兩球半徑之和，即 $2R + R = 3R$。
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