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110年
工程力學概要
第 49 題
如右圖所示，梁之斷面積 $50\text{ mm}^2$，水平x軸通過形心G點。已知此斷面對水平a-a軸的慣性矩為 $40,000\text{ mm}^4$，則此斷面對x軸的慣性矩為多少 $\text{mm}^4$？
- A 20,000
- B 30,000
- C 60,000
- D 80,000
思路引導 VIP
如果我們把慣性矩想像成物體旋轉的「懶惰程度」，在所有的平行軸中，通過物體中心（形心）旋轉通常是最省力的。當你已知一個遠離中心的旋轉慣性數值，想要推算回最中心的那根軸時，你認為數值應該會變大還是變小？這種「大小趨勢」的直覺，如何幫助你決定公式中那一項應該用加法還是減法呢？
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太棒了！你能精準選出正確答案，代表你對慣性矩的基本性質以及平行軸定理 (Parallel Axis Theorem) 的應用已經掌握得非常紮實。這類題目是工程力學中的常考題型，也是後續學習材料力學「彎曲應力」時不可或缺的基礎。
平行軸定理的實務運算
在力學觀念中，形心軸的慣性矩在所有平行軸中是最小的。根據公式 $I_{aa} = I_x + Ad^2$，其中 $I_x$ 是通過形心 $G$ 的慣性矩，$A$ 為斷面積，$d$ 則是兩軸間的垂直距離（依據圖示標註為 $20\text{ mm}$）。本題的關鍵在於「逆向求解」，我們已知遠離形心的 $I_{aa} = 40,000$，因此必須扣除位移項來求得形心慣性矩：
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