ast_essay
111年
數學甲
第 13 題
📖 題組：
12-14 題為題組 有一積木（如圖），其中 $ACFD$ 和 $ABED$ 是兩個全等的等腰梯形，$BCFE$ 是一個矩形。設 $A$ 點在直線 $BC$ 的投影為 $M$ 且在平面 $BCFE$ 的投影為 $P$。已知 $\overline{AD} = 30$、$\overline{CF} = 40$、$\overline{AP} = 15$ 且 $\overline{BC} = 10$。將平面 $BCFE$ 置於水平桌面上，且將與 $BCFE$ 平行的平面稱為水平面。 試回答下列問題。
12-14 題為題組 有一積木（如圖），其中 $ACFD$ 和 $ABED$ 是兩個全等的等腰梯形，$BCFE$ 是一個矩形。設 $A$ 點在直線 $BC$ 的投影為 $M$ 且在平面 $BCFE$ 的投影為 $P$。已知 $\overline{AD} = 30$、$\overline{CF} = 40$、$\overline{AP} = 15$ 且 $\overline{BC} = 10$。將平面 $BCFE$ 置於水平桌面上，且將與 $BCFE$ 平行的平面稱為水平面。 試回答下列問題。
13. 令 $Q$ 為 $\overline{FC}$ 上一點，滿足 $\overrightarrow{AQ}$ 與 $\overrightarrow{DF}$ 平行。利用 $\triangle ABC$、$\triangle ACQ$ 為全等三角形，證明若水平面 $W$ 介於 $A, P$ 之間且與 $A$ 的距離為 $x$，則 $W$ 與此積木所截的矩形區域之面積為 $20x + \frac{4}{9}x^2$。（非選擇題，4 分）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
看到本題先辨識為立體圖形的截面問題。題意已明示利用 $\triangle ABC$ 與 $\triangle ACQ$ 全等的概念，可得知截面矩形的寬度變化量會與高度 $x$ 成比例。切入順序為：首先利用相似三角形對應邊成比例的性質，設水平面 $W$ 截出的側邊長為 $l$，建立 $l$ 與 $x$ 的關係式。接著推導截面矩形的另一邊長（利用等腰梯形的特質，上方底為 30，下方兩側隨高度逐漸增加）。最後將兩邊長相乘，整理後即可證明截面積等於目標式。
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一、滿分參考答案： $W$ 與 $\triangle ABC, \triangle ACQ$ 所截邊長相等，設此邊長為 $l$，由相似形可得 $\frac{l}{10} = \frac{x}{15}$，所以 $l = \frac{2x}{3}$。 所截矩形另一邊長為 $30 + l = 30 + \frac{2x}{3}$，所以矩形面積為 $\frac{2x}{3}(30 + \frac{2x}{3}) = 20x + \frac{4}{9}x^2$。