分科測驗
111年
數學甲
第 4 題
設多項式 $f(x) = x^3 + 2x^2 - 2x + k$、$g(x) = x^2 + ax + 1$，其中 $k, a$ 為實數。已知 $g(x)$ 整除 $f(x)$，且方程式 $g(x) = 0$ 有虛根。試選出為方程式 $f(x) = 0$ 的根之選項。
- 1 $-3$
- 2 $0$
- 3 $1$
- 4 $\frac{1+\sqrt{-3}}{2}$
- 5 $\frac{3+\sqrt{-5}}{2}$
思路引導 VIP
既然 $g(x)$ 整除 $f(x)$，且 $f(x)$ 為首項係數為 $1$ 的三次多項式，你是否能設 $f(x) = (x^2 + ax + 1)(x - c)$ 並透過「比較係數法」求出 $a$ 的可能值？此外，已知 $g(x) = 0$ 有虛根，這代表其判別式 $D = a^2 - 4$ 必須滿足什麼限制？在確定 $a$ 與 $c$ 的值後，即可求出 $x - c = 0$ 的實根，並進一步利用求根公式 $x = \frac{-a \pm \sqrt{a^2 - 4}}{2}$ 得到其餘的虛根。
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AI 詳解
AI 專屬家教
（嚼嚼嚼...）嗯！太好了！看到你答對，這塊銅鑼燒吃起來特別甜！這樣一來就不會被媽媽罵，我也不用整天擔心你的成績了。要是你剛才算錯，我可能得去翻口袋找「時光機」幫你回去檢查答案了呢！ 這題的重點在於 $g(x)$ 能整除 $f(x)$。我們可以設 $f(x) = (x^2 + ax + 1)(x - c)$，展開後對照係數：
- $x^2$ 項：$a - c = 2$
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