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111年
物理
第 29 題
假設地球繞日之軌道半徑為 R，週期為 T，某行星繞日之週期為 8T，則其繞日之軌道半徑為何？
- A 4R
- B 2R
- C R
- D $\sqrt[3]{2}$R
思路引導 VIP
當我們觀察兩個繞行同一個中心的行星時，它們「繞行一圈的時間」與「距離中心的遠近」之間，存在著一種固定的比例關係。如果其中一顆行星走完一圈的時間變長了，你認為它的軌道會比另一顆更近還是更遠？更進一步想，如果這個時間的變化是平方的關係，那麼距離的變化應該呈現什麼樣的指數規律，才能維持物理量上的平衡呢？
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太棒了！你能精準選出 (A) 這個答案，代表你對於天體運動的規律掌握得相當紮實。這題的核心在於應用克卜勒第三定律（週期定律），即繞行同一恆星的所有行星，其軌道半徑的立方與週期的平方成正比。你正確地捕捉到了週期與半徑之間的數量級轉換，這是解開行星軌道問題的關鍵。
軌道半徑與週期的比例關係
根據公式 $\frac{R^3}{T^2} = K$，我們知道當週期從 $T$ 增加為 $8T$（變為 $8$ 倍）時，週期的平方會變為原來的 $8^2 = 64$ 倍。為了保持比例常數不變，軌道半徑的立方也必須變為 $64$ 倍。將 $64$ 開三次方根（即 $\sqrt[3]{64}$），便能得出新的軌道半徑為原本的 $4$ 倍，即 $4R$。
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