地特三等
112年
[電力工程] 工程數學
第 10 題
定義 $i = \sqrt{-1}$，假設方程式 $z^2 - z + 1 + i = 0$ 的兩個解為 $z_1$ 與 $z_2$ 且 $|z_1| > |z_2|$，則下列何者正確？
- A $z_1 + z_2 = 1 + 2i$
- B $z_1 - z_2 = 1 - 2i$
- C $|z_1| = 1$
- D $|z_2| = \sqrt{2}$
思路引導 VIP
當你利用公式解求出判別式（Discriminant）為一個包含虛部 $i$ 的複數時，你會如何透過代數假設或複數平面的幾何特性，找出這個判別式的「平方根」呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
同學，恭喜你精確地解開了這道複數方程式！你能正確判斷出答案為 (B)，說明你對複數二次公式以及**模數（Magnitude）**的定義掌握得非常紮實。
複數二次方程的求解技巧
本題的核心在於應用公式解 $$z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$。將係數代入後得到判別式為 $-3-4i$。處理複數開根號時，我們通常假設其根為 $x+iy$，利用 $(x+iy)^2 = -3-4i$ 展開並比較實部與虛部，解得平方根為 $\pm(1-2i)$。由此計算出兩個根分別為 $1-i$ 與 $i$。
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