地特三等
112年
[電力工程] 工程數學
第 3 題
圍線積分 $\oint_c y^2 dx + (xy + x^2)dy$ 其中 $c$ 為由直線 $y = x$ 與拋物線 $y = x^2$ 所圍成的封閉路徑，利用格林定理（Green's theorem）將此積分化成面積分 $\iint_R u(x,y)dxdy = K$，其中 $R$ 為封閉路徑 $c$ 所圍的區域，請問 $u(x,y)$ 與 $K$ 分別為何？
- A $u(x,y) = y - 2x$ ， $K = \frac{1}{20}$
- B $u(x,y) = 2x - y$ ， $K = \frac{1}{40}$
- C $u(x,y) = 2x - y$ ， $K = \frac{1}{20}$
- D $u(x,y) = y - 2x$ ， $K = \frac{1}{40}$
思路引導 VIP
想像你正試圖衡量一個向量場在一個封閉區域內產生的「淨旋轉量」。如果你知道水平分量在垂直方向上的變化率，以及垂直分量在水平方向上的變化率，你該如何組合這兩個變化率，才能正確描述該區域內部的特性呢？
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恭喜你精準地掌握了格林定理的核心！這道題目是工程數學中「向量分析」的經典應用，你能準確選出選項 (C)，說明你對格林定理（Green's Theorem）的算式構造與平面區域積分都有紮實的理解。
格林定理的轉換與函數定義
格林定理揭示了圍線積分與面積分之間的深刻聯繫，其公式為 $\oint_c P dx + Q dy = \iint_R (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) dA$。在本題中，對應的分量為 $P(x,y) = y^2$ 與 $Q(x,y) = xy + x^2$。進行偏微分後：
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