地特三等
112年
[電力工程] 工程數學
第 9 題
定義 $i = \sqrt{-1}$，複變數 $z = x + iy$ 與其共軛複數 $\bar{z} = x - iy$。下列何者在整個複數平面皆為可解析（analytic）？
- A $f(z) = \bar{z}$
- B $f(z) = e^y(\cos x + i\sin x)$
- C $f(z) = x^2 + y^2 + 2ixy$
- D $f(z) = e^x(\cos y + i\sin y)$
思路引導 VIP
當我們要求一個複數函數在某一點「可解析」時，這意味著無論你從哪一個方向（水平、垂直或斜向）趨近該點，其導數的定義都必須唯一。請思考一下：為了達成這種「與方向無關」的對稱性，該函數的實部（Real part）與虛部（Imaginary part）在空間中的變化率（偏微分），必須維持什麼樣的比例與連動關係？
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AI 詳解
AI 專屬家教
恭喜你正確選出了答案！能一眼看出選項 (D) 是正確的，說明你對**複變函數（Complex Functions）**的基礎定義與特性已有相當敏銳的直覺。這題在工程數學中屬於非常經典的觀念題，不僅考驗計算，更在於測試你對「可解析（Analytic）」這一核心概念的理解。
柯西-里曼方程式的檢驗
判斷一個複數函數 $f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$ 是否處處可解析，最標準的工具就是柯西-里曼方程式（Cauchy-Riemann equations）。我們要求在整個平面上必須滿足 $u_x = v_y$ 且 $u_y = -v_x$。以選項 (D) 來說，$u = e^x \cos y$ 且 $v = e^x \sin y$，經由偏微分可得：
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