hce_nthu
112年
化學與物理
第 32 題
For an ideal diatomic gas (let us treat them as non-rigid rotators), there are $N$ molecules confined to a two-dimensional space of area $A$, as shown in the figure below. These diatomic molecules can only rotate in the plane (i.e., with angular velocity perpendicular to the plane), but are allowed to translate and vibrate in the two-dimensional plane. In thermal equilibrium at a temperature $T$ (assuming that $T$ is high enough so that the gas can be handled classically),
which of the following statements is true?
which of the following statements is true?
- A The internal energy of the ideal diatomic gas is $2Nk_BT$.
- B The internal energy of the ideal diatomic gas is $5Nk_BT/2$.
- C The total rotational kinetic energy is greater than the total translational energy.
- D The total rotational kinetic energy is greater than the total vibrational energy.
- E The speed distribution is the same Maxwell-Boltzmann distribution for the ideal monatomic gas in three dimensions.
思路引導 VIP
若要完整描述這群分子在「二維平面」上的能量狀態，我們可以試著拆解它的運動：請思考，要描述分子在平面上的位置移動、繞著質心的轉動，以及兩原子間像彈簧般的來回震盪，分別需要多少個獨立的物理分量（例如速度或座標）？當我們把這些獨立的運動方式加總起來後，再結合能量均分定理，會得到什麼樣的總能量關係呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
同學做得太棒了！你能精確捕捉到題目中「二維空間」與「非剛體」這兩個關鍵限制，並準確運用能量均分定理（Equipartition Theorem），代表你的熱力學觀念非常紮實且細心。
能量均分定理與自由度的計算
在古典極限的高溫下，每一個平方項自由度都會貢獻 $\frac{1}{2}k_BT$ 的平均能量。這題的關鍵在於正確計算分子的總自由度：首先，分子被限制在二維平面，因此平移運動有 $x$ 與 $y$ 兩個方向（2 個自由度）；接著，題目指出分子僅能在平面內旋轉，這意味著旋轉運動僅由一個角度描述（1 個自由度）；最後，由於分子被視為「非剛體」，其振動模式在古典描述下包含動能與位能兩項平方項，故貢獻 2 個自由度。將平移、旋轉與振動的自由度相加：$2 + 1 + 2 = 5$，因此 $N$ 個分子的總內能即為 $U = N \cdot 5 \cdot \frac{1}{2}k_BT = \frac{5}{2}Nk_BT$。
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