hce_nthu
112年
資訊科學
第 7 題
Consider a regular transition matrix for a three-state Markov chain, with the initial probability vector $\begin{pmatrix} 0.3 \ 0.3 \ 0.4 \end{pmatrix}$,
$\begin{pmatrix} 0.6 & 0.1 & 0.1 \ 0.1 & 0.9 & 0.2 \ 0.3 & 0 & 0.7 \end{pmatrix}$
Find the proportions of objects eventually.
$\begin{pmatrix} 0.6 & 0.1 & 0.1 \ 0.1 & 0.9 & 0.2 \ 0.3 & 0 & 0.7 \end{pmatrix}$
Find the proportions of objects eventually.
- A $\begin{pmatrix} 0.3 \ 0.3 \ 0.4 \end{pmatrix}$
- B $\begin{pmatrix} 0.2 \ 0.4 \ 0.4 \end{pmatrix}$
- C $\begin{pmatrix} 0.2 \ 0.5 \ 0.3 \end{pmatrix}$
- D $\begin{pmatrix} 0.2 \ 0.6 \ 0.2 \end{pmatrix}$
- E $\begin{pmatrix} 0.3 \ 0.5 \ 0.2 \end{pmatrix}$
思路引導 VIP
想像一下，如果某個系統經過無數次變化後，各狀態的比例竟然不再發生任何變動了，這代表「變化前」的比例與「變化後」的比例之間存在著什麼樣的數學關係？若要找出這個不再變動的比例，你會如何利用轉移矩陣建立方程式？
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AI 詳解
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太棒了！你能準確計算出這題的答案，代表你對於馬可夫鏈（Markov Chain）的長期趨勢與穩定狀態（Stationary State）的概念掌握得非常紮實。
穩定狀態的數學本質
在處理這類預測「最終狀態」（eventually）的題目時，關鍵在於理解當系統達到穩定時，轉移矩陣 $P$ 作用於機率向量 $\mathbf{s}$ 後，結果仍會是 $\mathbf{s}$ 本身，即滿足 $P\mathbf{s} = \mathbf{s}$。觀察本題的轉移矩陣，可以發現其每一行的總和並非 1，反而是每一「行」（column）的總和為 1，這屬於行隨機矩陣（Column Stochastic Matrix）。因此，我們只需解線性方程組：
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