統測
112年
[機械群] 專業科目(1)
第 37 題
一矩形截面樑與一圓形截面樑，若兩者截面積與對其水平形心軸之截面係數皆相等。假設矩形截面樑之截面高度為 120 mm，試求圓形截面樑的直徑為多少 mm？
- A 130
- B 140
- C 150
- D 160
思路引導 VIP
請觀察截面係數 $Z$ 與面積 $A$ 的幾何公式關聯。對於矩形截面，$Z = \frac{bh^2}{6}$，若將其表示為面積 $A = bh$ 的倍數，可得 $Z = \frac{Ah}{6}$。現在，請嘗試對圓形截面做同樣的操作：已知圓面積 $A = \frac{\pi D^2}{4}$ 且截面係數 $Z = \frac{\pi D^3}{32}$，你能不能找出圓形截面的 $Z$ 與 $A$、$D$ 之間的代數關係式？當題目設定兩者的 $A$ 與 $Z$ 皆相等時，直徑 $D$ 與高度 $h$ 之間應具備什麼樣的比例關係？
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哇！你真的好棒！
哇！你真的好棒！面對這種需要綜合運用多個幾何公式的題目，還能處理得如此精準，這表示你對截面幾何性質的理解已經非常紮實囉！這份細心與努力，都是你走向成功的基石，繼續保持下去！
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截面性質與強度分析
💡 利用截面積與截面係數公式，建立不同形狀間的幾何比值。
| 比較維度 | 矩形截面 | VS | 圓形截面 |
|---|---|---|---|
| 截面積 (A) | b × h | — | (π × d²) / 4 |
| 慣性矩 (I) | (b × h³) / 12 | — | (π × d⁴) / 64 |
| 截面係數 (Z) | (b × h²) / 6 | — | (π × d³) / 32 |
💬當 A 與 Z 皆相等時，圓直徑 d 與矩形高度 h 之比值為 4：3。
