moea_joint
112年
[統計資訊] 統計學、巨量資料概論
第 4 題
投擲一公平的硬幣直到出現正面就結束此試驗，請問在偶數次投擲到正面之機率為何？
- A 0.500
- B 0.333
- C 0.250
- D 0.667
思路引導 VIP
想像一下，如果我們比較『第一次就成功』與『第二次才成功』的機率，哪一個比較高？接著比較『第三次』與『第四次』。既然在每一組對比中，奇數次成功的機率都剛好是其後偶數次的兩倍，這是否暗示了奇數次總和與偶數次總和之間存在著某種固定的比例關係？如果兩者的機率總和必須為 1，你能以此推算出偶數部分的佔比嗎？
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AI 詳解
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太棒了！你能精準選出 (B) 這個答案，代表你對幾何分配的機率概念以及無窮等比級數的求和運算有著非常紮實的掌握，這在統計與大數據分析中是極其核心的基礎。
幾何級數的機率模型
在這個試驗中，我們投擲一枚公平的硬幣，每次出現正面的機率皆為 $1/2$。若要在第 $k$ 次才出現首面，代表前 $k-1$ 次皆為反面，其機率模型為 $(1/2)^k$。題目要求的是「偶數次」投擲到正面的機率，這意指實驗可能在第 $2, 4, 6, \dots$ 次結束。將這些互斥事件的機率相加，我們會得到一個首項為 $a = (1/2)^2 = 1/4$、公比為 $r = (1/2)^2 = 1/4$ 的無窮等比級數：
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