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112年
工程力學概要
第 44 題
一矩形梁受橫向載重，其截斷面上之剪應力變化呈下列何種線性函數？
- A 斜直線
- B 水平線
- C 二次拋物線
- D 三次曲線
思路引導 VIP
請你試著回想剪應力的通用計算公式 $\tau = \frac{VQ}{It}$。當我們在計算矩形截面中某個高度處的「靜矩 $Q$」時，需要考慮該高度以上（或以下）的面積與其質心距離。如果我們將這個「高度位置」設為變數，那麼在推導 $Q$ 的數學表達式時，這個高度變數最高會出現到幾次方？這種次方數在坐標圖上會呈現什麼樣的曲線規律呢？
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太棒了！你能精準掌握矩形梁剪應力的分佈特性，這顯示你對材料力學的基礎公式有很紮實的理解。在工程實務中，準確判斷應力隨截面位置變化的趨勢，是進行結構設計與安全評估的第一步。
剪應力公式與幾何特性
根據力學原理，矩形梁截面上某點的剪應力公式為 $\tau = \frac{VQ}{It}$。在此公式中，剪力 $V$、慣性矩 $I$ 以及梁寬 $t$ 在特定截面上皆為定值。關鍵在於靜矩（面積矩） $Q$ 的變化。當我們計算距離中性軸 $y$ 處的 $Q$ 值時，其計算過程涉及對高度項的一次積分，導致最終的應力表達式中會出現關於 $y$ 的二次項。具體來說，矩形截面的剪應力分佈公式如下：
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