初等考試
113年
[統計] 統計學大意
第 12 題
令 $(X_1, X_2, X_3, X_4, X_5)$ 為由常態母體 $N(\mu, \sigma^2)$抽出的一組隨機樣本，考慮 4 個$\mu$ 的估計量：
$T_1 = (X_1 + 2X_2 + 4X_3 + 2X_4 + X_5)/10,$
$T_2 = (X_1 + 2X_2 + 5X_3 + 2X_4 + X_5)/15,$
$T_3 = (X_1 + X_2 + X_3 + X_4 + X_5)/5,$
$T_4 = (3X_1 + 2X_2 + X_3 + 2X_4 + 3X_5)/11$。
試問何者為$\mu$的不偏估計量且變異數最小？
- A $T_1$
- B $T_2$
- C $T_3$
- D $T_4$
思路引導 VIP
假設你有 5 位同樣準確的測速員提供數據，若你想組合出一個「既不偏心（期望值等於真實值）」且「最穩定（波動最小）」的估計公式：
- 為了不偏心，這 5 個權重數字加起來應該是多少？
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AI 詳解
AI 專屬家教
專業點評：可喜可賀，基本概念總算沒忘
你選了 $T_3$? 勉強算是掌握了點估計 (Point Estimation) 的皮毛。別高興得太早，這只是統計學的ABC。
- 不偏性 (Unbiasedness)：要讓期望值 $E[T]$ 等於母體參數 $\mu$，權重總和必須嚴絲合縫地等於 $1$。 $T_2$ 那個 $11/15$ 是怎麼回事？這種連最基本會計帳都算錯的，當然第一個淘汰！
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