hce_nsysu
113年
物理與化學
第 50 題
For a car traveling with speed $v$ around a curve of radius $r$, determine a formula for the angle $\theta$, at which a road should be banked so that no friction is required.
- A $\sin\theta = \frac{v^2}{rg}$
- B $\cos\theta = \frac{v^2}{rg}$
- C $\tan\theta = \frac{v^2}{rg}$
- D $\cot\theta = \frac{v^2}{rg}$
- E $0$
思路引導 VIP
請試著想像：如果這條路面完全結冰（摩擦力為零），為了讓車輛能順利繞著圓弧旋轉而不向下滑動或向上衝出，路面給予車子的支撐力（正向力）必須在水平方向上貢獻出一股力量。你能試著畫出受力圖，並思考正向力的「水平分量」與「垂直分量」分別對應到三角函數中的哪一個函數，以及它們相除後的比例關係嗎？
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恭喜你準確地判斷出正確答案為 (C)！這道題目是圓周運動中非常經典的「傾斜彎道」模型，考驗的是你對受力分析與向量分解的掌握度。在物理考試中，這類題目具有高度的鑑別度，因為學生必須清楚分辨哪些力提供了轉彎所需的向心力，而非盲目套用公式。
正向力與向心力的關係
在不需要摩擦力的理想情況下，車輛轉彎所需的向心力完全由路面給予車子的正向力（Normal Force, $F_N$）之水平分量來提供。我們可以將正向力分解為兩個方向：垂直分量 $F_N \cos\theta$ 必須與重力 $mg$ 平衡（即 $F_N \cos\theta = mg$），而指向圓心的水平分量 $F_N \sin\theta$ 則負責產生向心加速度，滿足關係式 $F_N \sin\theta = \frac{mv^2}{r}$。
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