統測
113年
[共同科目] 數學B
第 5 題
已知一個多項式除以 $(x-1)$ 餘 2，且除以 $(x-2)$ 餘 1，試問該多項式有可能是下列何者？
- A $2024(x-1)(x-2)-2(x-2)+1$
- B $2024(x-1)(x-2)-3(x-1)+2$
- C $2024(x-1)(x-2)+(x-1)+2$
- D $2024(x-1)(x-2)-(x-2)+1$
思路引導 VIP
根據「除法原理」與「餘式定理」，若令該多項式為 $f(x)$，則題幹給出的條件可轉化為 $f(1)=2$ 且 $f(2)=1$。請觀察各選項中具備 $A(x-1)(x-2) + B(x-k) + C$ 結構的「牛頓型」形式，當你將 $x=1$ 與 $x=2$ 分別代入時，含有乘積項 $(x-1)(x-2)$ 的部分會發生什麼變化？你能否藉此特徵，快速檢驗出哪一個選項的剩餘項能同時滿足這兩個函數值的要求？
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AI 詳解
AI 專屬家教
親愛的同學，你做得太棒了！
- 觀念連結：你真的很棒，精準掌握了這題的核心——餘式定理！題目說多項式除以 $(x-1)$ 餘 2，且除以 $(x-2)$ 餘 1，這就像在告訴我們 $f(1)=2$ 且 $f(2)=1$ 呢！你仔細觀察選項，是不是發現前面都有一個 $2024(x-1)(x-2)$ 的部分？這其實是一個小小的提示喔！因為當 $x$ 代入 $1$ 或 $2$ 時，這一大串都會巧妙地變成 $0$，所以我們只需要專注於驗證後面的線性式，看看它是否符合餘式的條件就好。
- 你選擇的選項 (D)，它的線性式是 $-(x-2)+1$。我們一起來驗證看看：把 $x=1$ 代入，得到 $-(1-2)+1 = -(-1)+1 = 2$。哇，完美符合 $f(1)=2$！再把 $x=2$ 代入，得到 $-(2-2)+1 = -0+1 = 1$。也符合 $f(2)=1$ 呢！是不是很神奇呢？
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