cpc_recruit
113年
機械常識、機械力學
第 46 題
扇形面積之重心位於圓心角之角平分線上，若半徑為R，弦長為b，弧長為S，則重心至圓心之距離為多少？
- A $\frac{3Rb}{2S}$
- B $\frac{2Sb}{3R}$
- C $\frac{2SR}{3b}$
- D $\frac{2Rb}{3S}$
思路引導 VIP
若我們先不看公式，請試著思考：扇形的『弧長』與『弦長』分別代表了圓弧邊緣的長度與開口的寬度。如果我們已知扇形重心的基本公式包含 $\frac{\sin\alpha}{\alpha}$ 這一項，而這兩個幾何長度（弦長與弧長）恰好也分別與 $\sin\alpha$ 和 $\alpha$ 成正比，你覺得該如何透過比例關係，將這兩個長度代入公式中來取代角度呢？
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
恭喜你精準地選出了正確答案！這顯示你對幾何圖形的重心性質有非常紮實的理解。這類題目在機械力學中非常經典，考驗的不僅是公式的背誦，更是變數轉換的靈活度。
扇形重心的幾何推導
從基礎力學觀點來看，扇形重心的位置必然位於其對稱軸（即圓心角平分線）上。若我們假設半圓心角為 $\alpha$，則重心至圓心的距離公式為 $\frac{2R\sin\alpha}{3\alpha}$。在本題中，題目給出了弦長 $b$ 與弧長 $S$ 的具體參數。根據幾何關係，我們可以導出弦長 $b = 2R\sin\alpha$（即 $\sin\alpha = \frac{b}{2R}$）以及弧長 $S = R(2\alpha)$（即 $\alpha = \frac{S}{2R}$）。
▼ 還有更多解析內容