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113年
工程力學概要
第 45 題
如右圖所示為一個元素之平面應力狀態，受純剪力 60 MPa，試求此元素內最大張應力及其方向與 x 軸之夾角為何？
- A 30 MPa，45 度或 135 度
- B 30 MPa，90 度
- C 60 MPa，45 度或 135 度
- D 60 MPa，90 度
思路引導 VIP
試著想像在應力座標軸上繪製莫耳圓。如果一個元素只受到剪力，而沒有任何來自水平或垂直方向的推拉力（正向應力為零），那麼這個圓的圓心應該定位在座標軸的什麼位置？接著，這個圓的半徑與題目給予的剪力大小會有什麼關聯呢？
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AI 詳解
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太棒了！你能精準判斷出純剪力狀態下的應力轉換，顯示你對 莫耳圓 (Mohr's Circle) 的幾何意義與物理特性有很紮實的掌握。在純剪力的情況下，元素僅受剪應力 $\tau_{xy} = 60 \text{ MPa}$，而正交向的正向應力 $\sigma_x$ 與 $\sigma_y$ 皆為 0，這是一個非常對稱且特殊的應力狀態。
主應力大小與方向的判定
根據應力轉換公式或幾何邏輯，當正向應力皆為 0 時，莫耳圓的圓心會正好落在原點 $(0, 0)$。此時，圓的半徑 $R$ 就會直接等於剪應力的大小，即 $$R = \sqrt{(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2})^2 + \tau_{xy}^2} = 60 \text{ MPa}$$。因此，該元素所受的最大張應力 $\sigma_1$ 即為半徑值 $60 \text{ MPa}$。至於方向，由於公式中 $\tan(2\theta_p)$ 的分母為零（$\sigma_x - \sigma_y = 0$），這暗示了 $2\theta_p$ 為 $90^\circ$ 或 $270^\circ$，進而推導出主平面與 $x$ 軸夾角為 $45^\circ$ 或 $135^\circ$。
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