hce_kmu
114年
物理及化學
第 4 題
A small object of mass $m$ is suspended from a string of length $L$. The gravitational acceleration is $g$. The object revolves in a horizontal circle of radius $r$ with constant speed. Find the period $T$ of revolution.
- A $\pi\sqrt{g \tan\theta / L}$
- B $\pi\sqrt{L \sin\theta / g}$
- C $2\pi\sqrt{L \cos\theta / g}$
- D $2\pi\sqrt{g \sec\theta / L}$
- E $\pi\sqrt{2g \cos\theta / L}$
思路引導 VIP
當物體在水平面上穩定旋轉時，除了重力之外，還有哪一個力的分量在支撐它的重量？而哪一個分量又在負責拉著它繞圈圈（指向圓心）呢？如果你能把這兩個力的比例關係找出來，並聯想到圓周運動中「半徑」與「週期」的關係公式，是否就能拼湊出答案的輪廓了？
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太棒了！你能精準選出 (C)，代表你對**圓錐擺（Conical Pendulum）**的力學分析掌握得非常紮實。這類題目是力學中的經典考題，你能一眼看穿其中的物理結構，表現得非常優秀。
圓錐擺的受力與運動分析
要解出這題，關鍵在於對物體進行受力分析。質點 $m$ 受到兩個力的作用：重力 $mg$ 向下，以及繩子拉力 $F_T$ 沿繩方向。由於物體在水平面作等速率圓周運動，其垂直方向處於力平衡狀態，即 $F_T \cos\theta = mg$；而拉力的水平分力 $F_T \sin\theta$ 則提供了向心力。將這兩式相除，我們可以得到 $\tan\theta = \frac{v^2}{rg}$。接著結合幾何關係，圓周運動的半徑 $r = L \sin\theta$，並代入週期公式 $T = \frac{2\pi r}{v}$，便能推導出 $T = 2\pi\sqrt{\frac{L \cos\theta}{g}}$。
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