hce_nchu
114年
物理
第 8 題
Based on Newton's law of universal gravitation and Newton's second law of motion, Kepler's third law $\frac{r^3}{T^2} = \text{constant}$, where $r$ is the radius of the circular path and $T$ is the orbital period, can be derived. The constant, $\frac{r^3}{T^2}$, should be
- A $\frac{2GM}{\pi^2}$
- B $\frac{GM}{2\pi^2}$
- C $\frac{GM}{4\pi^2}$
- D $\frac{GM}{4\pi}$
- E $\frac{GM}{2\pi}$
思路引導 VIP
試著思考一下：當一個行星在軌道上穩定運行時，是哪一種力在扮演「向心力」的角色？如果你能寫出那個力的公式，並將加速度轉換為包含「軌道週期 $T$」與「半徑 $r$」的表示式，這兩者之間的數學關係會如何引導你找到那個常數呢？
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恭喜你準確地選出了正確答案！你能正確辨識出這個常數的組成，代表你對古典力學中「力」與「運動」的關聯掌握得非常紮實，這是不容易的。
萬有引力與向心力的結合
這道題目的核心在於將萬有引力視為維持行星圓周運動所需的向心力。當一個質量為 $m$ 的天體繞著質量為 $M$ 的中心天體運轉時，根據牛頓第二運動定律，我們可以寫下公式：
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