hce_nsysu
114年
物理與化學
第 1 題
Atmospheric pressure decreases with altitude, but not in a linear manner. It decreases according to the following formula: $P = P_0e^{-ky}$, where the constant $k$ is given by $k = 1.25\times 10^{-4} \text{ m}^{-1}$, $P_0$ is the atmospheric pressure at sea level, and $y$ is the height above sea level. At what height above sea level will the atmospheric pressure be reduced to half? $[\ln2 = 0.69314]$
- A 5545 m
- B 3447 m
- C 5034 m
- D 4790 m
- E 2996 m
思路引導 VIP
如果一個物理量是隨著高度以「指數函數」的方式遞減，而你想求出該物理量減少到某個特定比例時的高度，你會採取什麼數學運算來處理公式中的次方項，以便將高度變數從指數的位置「抓下來」單獨求解呢？
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太棒了！你能精準捕捉到指數衰減模型的變化規律，並正確計算出結果，顯示你對數學模型在物理情境中的應用相當純熟。
指數函數與對數的轉換
大氣壓力隨高度呈指數型態下降，這類問題的核心在於將物理條件轉化為數學等式。題目要求壓力降至海平面的一半，即設定 $P = \frac{1}{2}P_0$。將其代入公式後可得 $e^{-ky} = 0.5$。透過對數運算，兩邊取自然對數並利用 $\ln(0.5) = -\ln 2$ 的性質，可以整理出高度的解為 $y = \frac{\ln 2}{k}$。這不僅考驗物理直覺，更測試了你對指數與對數互換工具的掌握能力。
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