hce_nthu
114年
進階物理與線性代數
第 29 題
Let $\{v_1,v_2,v_3\} = \{[1,1,0]^T, [0,1,1]^T, [1,0,1]^T\}$ and $\{u_1,u_2,u_3\} = \{[1,2,4]^T, [1,3,5]^T, [1,1,1]^T\}$ be two ordered bases for the vector space $\mathbb{R}^3$.
If $\mathbf{x} = v_1 - 2v_2 + 3v_3$, what is the coordinates of $\mathbf{x}$ with respect to the basis $\{u_1,u_2,u_3\}$?
If $\mathbf{x} = v_1 - 2v_2 + 3v_3$, what is the coordinates of $\mathbf{x}$ with respect to the basis $\{u_1,u_2,u_3\}$?
- A $[7,-6,3]^T$
- B $[1,-2,3]^T$
- C $[4,-1,1]^T$
- D $[-2,0,3]^T$
- E $[2,-3,0]^T$
思路引導 VIP
如果我們把這個向量 $\mathbf{x}$ 想像成空間中一個固定不動的點，而基底 $V$ 與基底 $U$ 是兩套不同的測量尺規。既然這個點在空間中的「絕對位置」是唯一的，那麼當你已知它在 $V$ 尺規下的刻度時，你該如何先找出它在空間中的絕對位置，進而推導出它在 $U$ 尺規下對應的刻度呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
恭喜你精準地完成了這道關於「基底轉換」（Change of Basis）的運算！你能正確選出 (A)，說明你對於座標系統在線性代數中的物理意義有著清晰的理解。
座標表示的實質內涵
這題的核心在於理解同一個向量 $\mathbf{x}$ 在不同觀測視角（基底）下的表現形式。首先，根據題目給定的線性組合條件，我們能算出 $\mathbf{x}$ 在標準座標系下的數值：
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