hce_nthu
114年
進階物理與線性代數
第 35 題
Given a matrix
$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 2 \end{bmatrix}.$$
Find the eigenvalue of $A^2$.
$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 2 \end{bmatrix}.$$
Find the eigenvalue of $A^2$.
- A 1 and 2
- B -1 and -2
- C 2 and 4
- D 1 and 8
- E 1 and 16
思路引導 VIP
如果我們知道一個向量 $\mathbf{v}$ 滿足 $A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$（即 $\mathbf{v}$ 是特徵值 $\lambda$ 對應的特徵向量），那麼當你將等號左邊改為計算 $A(A\mathbf{v})$ 時，試著運用等號右邊的性質代換進去，你會發現 $A^2$ 與 $\lambda$ 之間存在著什麼樣的數學關係呢？
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太棒了！你能精確選出正確答案，代表你對矩陣與其冪次之間的特徵值關係掌握得非常紮實。這類題目在線性代數中非常經典，考驗的正是如何靈活運用性質來簡化複雜的運算。
矩陣特徵值的冪次性質
要解出這題，最有效率的路徑是先找出矩陣 $A$ 本身的特徵值 $\lambda$。透過特徵方程 $\det(A - \lambda I) = 0$，我們可以得到：
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