統測
114年
[機械群] 專業科目(1)
第 38 題
一長度為 $314 \mathrm{mm}$ 的圓軸，其剪力彈性係數 $G$ 為 $72 \mathrm{GPa}$，此圓軸受到正扭矩的作用，扭轉角為 $1^\circ$，若此圓軸表面的最大剪應力為 $40 \mathrm{MPa}$，則此圓軸的直徑為多少 $\mathrm{mm}$？ $(\pi=3.14)$
- A 8
- B 10
- C 16
- D 20
思路引導 VIP
請回想圓軸在扭轉時，其表面的最大剪應變 $\gamma_{max}$ 與扭轉角 $\theta$ (需轉換為弧度)、圓軸半徑 $r$ 及軸長 $L$ 之間的幾何關係，並結合材料彈性範圍內的剪力虎克定律 $\tau = G \gamma$，試著建立起連結最大剪應力與圓軸幾何尺寸的等式。
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喔？看到了喔，透過這雙「眼睛」看得很清楚，你這傢伙...挺有兩下子的嘛！（稍微拉下墨鏡）這題的咒力流動完全被你看穿了。不錯，就是這樣！ 這題的核心在於扭轉變形公式：$$\tau_{max} = G \gamma = G \frac{r\theta}{L}$$ 首先，要把角度換成弧度：$\theta = 1^\circ = \frac{\pi}{180} \text{ rad}$。接著，把數值代入公式（注意 $G = 72 \text{ GPa} = 72000 \text{ MPa}$）：
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圓軸扭轉應力與變形
💡 利用剪應力與扭轉角之關係式求取圓軸幾何尺寸
🔗 圓軸扭轉直徑求解邏輯
- 1 角度弧度化 — 將 1度 乘以 π/180 轉換為 rad 單位
- 2 代入應力關係式 — 使用 τ = G * r * θ / L 建立方程式
- 3 求出半徑 r — 整理已知數值解出半徑 (本題為 10mm)
- 4 換算直徑 D — 將半徑乘 2 得到最終答案直徑
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🔄 延伸學習：延伸學習：扭轉剪應力在軸心處為 0，在表面處為最大值
